贝叶斯公式

贝叶斯公式·概率论

其中 表示“ 事件发生的情况下， 事件发生”的概率。

如果让 表示 和 共同发生的概率，那么

不难理解。

依然可以表示为

移项得贝叶斯公式。

题外话：条件概率谬论

条件概率谬论认为， 和 相差不大。

考虑一个现实的情景：检测一种疾病，对于阳性个体有 的概率检测结果为阴性，对于阴性个体有 的概率检测为阳性。如果该疾病患病率为 ，问对于一个人，如果被检出阳性，则真正患病的概率是多少？

约定 表示个体阳性的概率， 表示检出阳性的概率， 和 同理。

明确题目所求：，即检测出阳性的情况下，个体阳性的概率。

由贝叶斯公式得

需求 。

分讨。

• 如果该人为阳性，且正确检出，概率
• 如果该人为阴性，且错误检出，概率

综上有

则

即如果被检出阳性，则真正患病的概率为 或 。

更加深度地讨论这个问题， 和阳性误检率、阴性误检率与患病率有哪些联系？

我们不妨认为阳性误检率和阴性误检率相等即 ，患病率为 。

那么

所以

这个函数在 与 均自由时没有很好的性质，我们考虑固定 ，则可以得到（令 ，）

分析此函数图像（ 的部分）：

我们发现在 时，真阳性的概率就达到了 以上，在 的时候，。在 的情况中（）， 和 的绝对误差不超过 。