红蓝眼睛岛民问题思考 | Halberd Cease's Blog

Question

一个岛上有位红眼睛的岛民和位蓝眼睛的岛民（这里的和都），他们信仰一种奇怪的宗教，教义如下：

不得和岛上其他人交谈眼睛的颜色。
如果可以通过推理等方式确定自己眼睛的颜色，就一定会在当天夜里自杀。

所有居民都绝对信仰其宗教，同时绝对聪明，岛上没有任何可以获取自己眼睛颜色的途径。

一个外地人来到岛上，在获取了所有人的信任过后，对所有人说了一句话：

你们岛上有红眼睛的人。

请问接下来会发生什么？

Answer

假设外地人说话的时间是第天白天，那么在第天晚上，所有的红眼睛的人都会自杀，第天晚上，所有蓝眼睛的人都会自杀。

Analysis

这道题的答案有几种证明方法，这里笔者选择两种做简要说明。

数学归纳法

不懂什么是数学归纳法的，可以按照下面的说法简要理解：

数学归纳法要证明的是一个命题。

证明方法如下所述：

假设这个命题如果在时成立，证明其在时一定成立。

证明命题在时成立，可以推导出在为任意自然数时成立。

形象解释为：你知道一张骨牌倒下，会使另一张在其后面的骨牌倒下，这时第一张骨牌倒下，那么所有的骨牌都会倒下。

摘自：数学归纳法 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)，有修改。

对于这道题，我们要证明的命题是：

如果岛上有个红眼睛的岛民，那他们会在第天晚上集体自杀。

我们假设有个红眼睛岛民，我们分析一个红眼睛岛民 A 的视角，当前时间是第天。

A 可以看见个红眼睛岛民，如果只有个红眼睛岛民，那么他们会在今天晚上自杀。

因为实际上有个红眼睛岛民，所以当天晚上不会有人自杀。

第天，A 发现没有人自杀，那么红眼睛岛民人数一定不是，所以自己一定是红眼睛的，于是在当天（第天）晚上自杀。

对于其他的红眼睛岛民，推理过程一样，都会在天自杀。

当前证明了：如果在时命题成立，那么在时命题一样成立。

然后考虑的情况，如果只有一个红眼睛的人，那这个人一定看不到任何红眼睛的人，但是外地人说了有红眼睛的人，那么红眼睛的人一定是自己，于是在第一天晚上自杀。

然后整个命题得证，答案的后半部分也好证，在第天，蓝眼睛的人看见所有红眼睛的自杀了，就知道仅有个红眼睛的人，而其能看到个红眼睛的人，所以自己一定是蓝眼睛的人，在当天（第天晚上自杀）。

干推法

这种方法比较奇怪，而且比较绕，我们画图来解释一下：

还是假设有个红眼岛民，以红眼岛民 A 的视角进行叙述，同时记红眼岛民的名字为，其中 A 为。

首先 A 不知道自己眼睛的颜色，于是在其视角中就有种情况，分别为：

自己如果是蓝眼睛；
自己如果是红眼睛。

知道自己的眼睛颜色，如当是将其中一种假设产生的推论否决掉。

然后我们现在来推推论。

注意：推论全部建立在岛民 A 的视角中，在深入的过程中，可以建立在“岛民 A 视角中岛民的视角中”这种奇怪的嵌套关系，这也是这一种证法比较恼的一点之一。

我们考虑构建推理树，这棵推理树每一个节点有两个分支（即自己的眼睛颜色是红色或者蓝色），如果一个分支成立，那么另一个必然不成立（一个人不可能同时拥有两种眼睛颜色），或者实际上根本不会有这个节点（其两支都不成立，那么一定是其父节点无法成立，导致这个推理分支本身错误）。

参考上面的例子，如果 A 假设自己是蓝眼睛，那么就会看到个红眼睛（实际上可以看见个红眼睛，但是这是 A 的视角，且现在是 A 假设自己是蓝眼睛的情况，所以，在推理树中，情况会和现实中有不同）。

在 A 的视角中，也会进行推理，也会假设自己是蓝眼睛和红眼睛，我们继续往下推：

（这里的不能视作真正的，也不能视作 A 眼中的，而应该视作“认为自己是蓝眼睛的 A”眼中“认为自己是蓝眼睛的 ”眼中的，这一切都建立在每一个人不知道自己眼睛是什么颜色上。）

这样每次都说这么长很麻烦，我们记表示：在“认为自己是蓝眼睛的 A”眼中“认为自己是蓝眼睛的 ”眼中认为自己……眼中的。

如果在每一层的推理中，如果前个红眼睛岛民都假设自己是蓝眼睛，那么将看不见红眼睛。

这时，外地人过来说了这句话。

根据推论会在第一天晚上自杀（因为看不见红眼睛，但是确实有，所以一定是自己），但显然，真正的不会自杀，所以到第二天，会发现，其没有自杀，参考下面的图，在一条分支不成立之后，就只可能第二条分支成立。

所以在眼中，知道自己是红眼睛，但是第二天晚上，他没有自杀，因此，我们可以确定，第三天时知道了，不知道自己眼睛的颜色（推不出来），但是如果自己的眼睛是蓝色的，那么他一定可以推出来（参考上面的图），那么仅剩下一种可能，就是自己（）的眼睛颜色不是蓝色而是红色。

像这样一直推下去（或者说推上去），当 A 知道依然不知道自己眼睛颜色后，那么整个自己是蓝色眼睛这种可能就被否定完全了，只剩下自己是红色眼睛这种可能，于是，A 就会在当晚自杀。

要注意的是，这个 A 并不是个例，每一个红眼睛的人都可以看作 A，其推理过程都是一样的，所以所有红眼睛的人都会在同一天晚上自杀。

再来回应一下刚刚证明过程中不清晰的地方：

Q：为什么我们能确定第一天不会自杀，或者第二天不会？
A：要区分“想象中”和“实际上”两个概念，是想象中的，而实际上的像 A 一样，也在脑子里面进行这种推理，其的推理树并没有完全解决，像我们在推理 A 的时候，其推理树实在第天，才把自己是蓝眼睛这种可能完全否定掉的，也一样，所以不会自杀，在一群人脑子里面想出来的也不会自杀。

然后蓝眼睛的人自杀的推理就和数学归纳法中的推理差不多了，你也可以理解为蓝眼睛的人同样有推理树，但是由于其能看到的红眼睛人数比红眼睛的人可以看到的多一个，所以在红眼睛人集体自杀的第二天早上，蓝眼睛的人所发现的，可以理解为上面推理树中确实死了，所以自己肯定就是蓝眼睛。

Another question

在时，岛上所有人都知道岛上的人有红眼睛的岛民，那么外地人来说，不就相当于说了一句 P 话？如果确实不是 P 话，那这句话到底带来了什么信息？

Analysis

我们先从的情况来看，对于唯一一个红眼睛的人来说，这简直就是天大的消息，我看不到红眼睛，但是岛上确实有，那我就一定是了。于是当天晚上自杀。

接下来，考虑的情况，在其构建的推理树中，一定会有一个是唯一的红眼睛的存在，外地人说的话，就是为了给他们一个机会，验证的眼睛颜色，从而一步一步去推理，推翻推理树的一支，从而确定自己的眼睛颜色。

所以外地人的话到底带来了什么信息？

如果你从现实角度来看，确实没有带来什么信息，但是从上文所说的 A 的角度去分析，其想象中的的存在性，以及眼睛颜色就像的情况一样，可以验证了。

为什么的存在会被推翻？

在想象中的推理树中，应该是看不到任何一个红眼睛的，但是外地人说的话，和其看到的相冲突，或者说，能使的情况确定下来（一定是红眼睛）。

对于“岛上有红眼睛的岛民”这个信息，事实上每一个人都知道，但是每个人可能不知道别人知不知道（这是的情况），或者不知道别人眼中的别人是否知道（这是的情况），以此类推，而外地人所说的，让所有人都知道，每个人都一定知道这个信息。

Additional knowledge

共有知识

Definition：所有人都知道的知识。

举例：在时，岛上有红眼岛民是一个共有知识。

显然，每个人都能看见至少一个红眼睛的岛民，所以这是一个共有知识。

公共知识

Definition：所有人都知道的知识，并且所有人都知道其他人都知道，所有人都知道“所有人知道其他人知道”……（这是一个无穷递归的过程）。

举例：在外地人说了岛上有红眼岛民的时候，岛上有红眼岛民就成为了一个公共知识。

外地人是当着所有人的面说的，所以所有人都知道，其他人一定知道这条消息。

另一个例子是：每天晚上有或没有人会自杀，第二天所有人就会知道，并且知道其他人也知道，这也是一个共有知识。

Difference

两个知识种类的区别是，公共知识比共有知识多一条信息：每个人都知道别人也知道这条信息，以及其无限递归的过程。

在外地人没有来岛上之前，岛上有红眼睛的人是是一个共有知识，而不是公共知识，所以推理树中 “ 看不见红眼睛”的存在，是有可能，并且不能通过推理否定的（参考时，那个唯一的红眼睛看不见其他人有红眼睛，但其无法确定自己的眼睛颜色），在推理树下放的过程中，能看见的红眼睛数量是不断减少的，到了，他就看不见红眼睛的人了，因此其并没有获得知识：岛上有红眼睛的人。

而外地人来了，他的话的实质，就是将那个共有信息，变成了公共信息。

这时，无论是推理树中的谁，还是，A 都知道了他们都知道岛上有红眼睛的存在。

更加准确的说法是：

知道知道了岛上有红眼睛岛民的存在；
知道了事件 1；
知道了事件 2；

以此类推。

这样子说，看不见红眼睛的岛民，但是他知道岛上有红眼睛的人存在。

所以，外地人给出公共信息的实质，就是给每一个人推理树底部一个信息：岛上有红眼岛民。

在 A 的推理中，获取信息的途径，只有可能是公共信息（感性理解，只有公共信息，我才可以肯定，别人已经知道了这个信息），换句话说，公共信息可以对推理树上每一个点都造成影响（推理树的实质，就是不同的假设下，想象中的人的可能性，而像，当所有人都知道了一定知道这个信息（并且所有人都知道“所有人都知道知道这个信息”……）的时候这个信息就可以下放到上了，而这正好是公共信息的定义）。

Answer

我们的问题就可以解决了：外地人带来了新的信息，他把共有信息转变成了公共信息。